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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知O為△ABC所在平面內一點，滿足|
OA
|2+|
BC
|2=|
OB
|2+|
CA
|2=|
OC
|2+|
AB
|2，則點O是△ABC的（　　）
A、外心B、內心C、垂心D、重心
分析：根據向量的減法分別用
OA
，
OB
，
OC
表示
BC
，
CA
，
AB
，利用數量積運算和題意代入式子進行化簡，證出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即證出O是△ABC的垂心．
解答：解：設
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，則
BC
=
c
-
b
，
CA
=
a
-
c
，
AB
=
b
- 
a
．
由題可知，|
OA
|2+|
BC
|2=|
OB
|2+|
CA
|2=|
OC
|2+|
AB
|2，
∴|
a
|2+|
c
-
b
|2=|
b
|2+|
a
-
c
|2，化簡可得
c
•
b
=
a
•
c
，即（
b
-
a
）•
c
=0，
∴
OC
•
AB
=0，∴
AB
⊥
OC
，即OC⊥AB．
同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故選C．
點評：本題考查了向量在幾何中應用，主要利用向量的線性運算以及數量積進行化簡證明，特別證明垂直主要根據題意構造向量利用數量積為零進行證明．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知O為△ABC所在平面外一點，且
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，OA，OB，OC兩兩互相垂直，H為△ABC的垂心，試用
a
，
b
，
c
表示
OH
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O為△ABC所在平面內的一點，且滿足（
OB
-
OC
）•（
OB
+
OC
）•（
OB
+
OC
-2
OA
）=0，試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O為△ABC所在平面內一點，滿足|
OA
|2+|
BC
|2=|
OB
|2+|
CA
|2=|
OC
|2+|
AB
|2，則點O是△ABC的
 
 心．

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科目：高中數學 來源：2012年蘇教版高中數學必修4 2.5向量的應用練習卷（解析版） 題型：選擇題

已知O為△ABC所在平面內一點,滿足

,則點O是△ABC的(    )

A.外心                   B.內心                  C.垂心              D.重心

 

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