Question

在數列{a_n}中，如果對任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數），則稱數列{a_n}為比等差數列，λ稱為比公差．現給出以下命題，其中所有真命題的序號是

①④

．
①若數列{F_n}滿足F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），則該數列不是比等差數列；
②若數列{a_n}滿足an=(n-1)•2n-1，則數列{a_n}是比等差數列，且比公差λ=2；
③等差數列是常數列是成為比等差數列的充分必要條件；
（文）④數列{a_n}滿足：an+1=an2+2an，a₁=2，則此數列的通項為an=32n-1-1，且{a_n}不是比等差數列；
（理）④數列{a_n}滿足：a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

(n≥2，n∈N*)，則此數列的通項為a_n=

n•3n

3n-1

，且{a_n}不是比等差數列．

Answer 1

分析：根據比等差數列的定義

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ為常數），逐一判斷①～④中的四個數列是否是比等差數列，即可得到答案．

解答：解：數列{F_n}滿足F₁=1，F₂=1，F₃=2，F₄=3，F₅=5，

F3

F2

-

F2

F1

=1，

F4

F3

-

F3

F2

=-

1

2

≠1，
則該數列不是比等差數列，
故①正確；
若數列{a_n}滿足an=（n-1）•2n-1，
則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

(n+1)•2n+1

n•2n

-

n•2n

(n-1)•2n-1

=

-2

(n-1)•n

不為定值，
即數列{a_n}不是比等差數列，
故②錯誤；
③當等差數列為常數列0，0，0，0，…，0時，不能成為比等差數列，
故③錯誤；
（文）④∵數列{a_n}滿足：an+1=an2+2an，
a₁=2=321-1-1，
∴a₂=4+4=8=322-1-1，
a₃=64+16=80=3 23-1-1．
由此猜想an=32n-1-1．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁=2=321-1-1，成立．
②假設當n=k時成立，即ak=32k-1-1，
則a_k+1=（32k-1-1）²+2（32k-1-1）
=32k-2×3 2k-1+1-2×32k-1-2
=32k-1，也成立，
∴此數列的通項為an=32n-1-1．
∴

an+2

an+1

-

an+1

an

=

32n+1-1

32n-1

-

32n-1

32n-1-1

不是常數，
故{a_n}不是比等差數列，故④正確；
（理）④∵數列{a_n}滿足：a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

(n≥2，n∈N*)，
∴a₁=

3

2

=

1•31

31-1

，
a₂=

3×2× 3 2

2× 3 2 +2-1

=

9

4

=

2×32

32-1

，
a3 =

3×3× 9 4

2× 9 4 +3-1

=

81

26

=

3×33

33-1

．
由此猜想a_n=

n•3n

3n-1

．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁=

3

2

=

1•31

31-1

，成立；
②假設n=k時，等式成立，即ak=

k•3k

3k-1

，
則a_k+1=

3(k+1)• k•3k 3k-1

2• k•3k 3k-1 +k+1-1

=

(k+1)•3k+1

3k+1-1

，也成立．
故此數列的通項為a_n=

n•3n

3n-1

，
∴

an+2

an+1

-

an+1

an

=

(n+2)•3n+2 3n+2-1

(n+1)•3n+1 3n+1-1

-

(n+1)•3n+1 3n+1-1

n•3n 3n-1

不是常數，
故{a_n}不是比等差數列，故④正確；
故答案為：①④．

點評：本題考查新定義，解題時應正確理解新定義，同時注意利用列舉法判斷命題為假，屬于難題．