Question

（本題滿分15分）
已知函數．
（Ⅰ）當時，試判斷的單調性并給予證明;
（Ⅱ）若有兩個極值點．
（i） 求實數a的取值范圍;
（ii）證明：。 （注：是自然對數的底數）

Answer 1

（1）在R上單調遞減 （2）,對于函數中不等式的證明，一般要功過構造函數來結合函數的最值來證明不等式的成立。

試題分析：解：（1）當時，，在R上單調遞減       …………1分
，只要證明恒成立，      …………………………2分
設，則，
當時，，
當時，，當時，  ………………4分
，故恒成立
所以在R上單調遞減                          ……………………6分
（2）（i）若有兩個極值點，則是方程的兩個根，
故方程有兩個根，
又顯然不是該方程的根，所以方程有兩個根，    …………8分
設，得
若時，且，單調遞減
若時，
時，單調遞減
時，單調遞增            ……………………………10分
要使方程有兩個根，需，故且
故的取值范圍為              ……………………………………12分
法二：設，則是方程的兩個根，
則，
當時，恒成立，單調遞減，方程不可能有兩個根
所以，由，得，
當時，，當時，
，得
（ii） 由，得：，故，
，      ………………14分
設，則，上單調遞減
故，即  ………………………………15分
點評：利用導數求解函數的單調性和求解函數的極值和最值，這是導數作為工具性的一個重要的體現。同時對于含有參數的導數的單調性的判定要學會結合導數的正負來求解單調增減區間，同時利用導數在某點處的正負來判定極值，而運用導數證明不等式，一般構造函數來證明。屬于難度題。