Question

如圖為函數f（x）=（0＜x＜1）的圖象，其在點M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點P、Q，點N（0，1），若△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，則b的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：對函數求導可得，，根據導數的幾何意義先寫出過點M的切線方程為y-=，進而可得面積S
=，令g（t）=（0＜t＜1），要使△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點，通過=研究函數函數g（t）在（0，1）上的單調性，結合函數的圖象進行求解
解答：解：對函數求導可得，
由題意可得M（t，），切線的斜率k=
過點M的切線方程為y-=
則可得
l=l
令g（t）=（0＜t＜1）
=
函數g（t）在（）單調遞增，在單調遞減
由于，
△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點
，根據函數的圖象可知

故答案為：
點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用：求切線方程；利用導數判斷函數的單調性，求解函數的最值，解決本題的關鍵是構造函數g（t），通過研究該函數的性質，給出相應的函數的圖象，從而進行求解