Question

已知橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為

2

2

，它的一個頂點為拋物線x²=4y的焦點．
（I）求橢圓方程；
（II）若直線y=x-1與拋物線相切于點A，求以A為圓心且與拋物線的準線相切的圓的方程；
（III）若斜率為1的直線交橢圓于M、N兩點，求△OMN面積的最大值（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（I）設出橢圓的標準方程，利用拋物線的焦點坐標可得b的值，利用橢圓的離心率，即可求得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的方程；
（II）將直線y=x-1代入x²=4y得x²-4x+4=0，解得x=2，代入拋物線方程x²=4y，得點A的坐標為（2，1），因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離，由此能求出圓A的方程；
（III）設斜率為1的直線方程為y=x+m，代入橢圓方程，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0，利用韋達定理計算|MN|，求得原點O到直線MN的距離，從而可表示三角形的面積，利用基本不等式，可求OMN面積的最大值．

解答：解：（I）設橢圓的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵橢圓的一個頂點為拋物線x²=4y的焦點，∴b=1
∵橢圓的離心率為

2

2

，∴e=

c

a

=

2

2

，∴

a2-1

a2

=

1

2

，∴a²=2
∴橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1
（II）得：x²-4x+4=0，解得x=2，
代入拋物線方程x²=4y，得y=1，故點A的坐標為（2，1），
因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圓A的方程為：（x-2）²+（y-1）²=4．
（III）設斜率為1的直線方程為y=x+m，代入橢圓方程，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0
∵直線交橢圓于M、N兩點，∴△=16m²-12（2m²-2）＞0，∴-

3

＜m＜

3

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

∴|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

4

3

3-m2

∵原點O到直線MN的距離d=

|m|

2

∴S=

1

2

|MN|d=

1

2

×

4

3

3-m2

×

|m|

2

=

2

3

m2(3-m2)

≤

2

3

×

( m2+3-m2 2 )2

=

2

2

（當且僅當m=±

6

2

時，取等號）
∴△OMN面積的最大值為

2

2

．

點評：本題考查橢圓、圓的標準方程，考查拋物線的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查利用基本不等式求最值，正確運用韋達定理是關鍵．