Question

已知a、b∈R，向量=（x，1），=（-1，b-x），函數f（x）=a-是偶函數．
（1）求b的值；
（2）若在函數定義域內總存在區間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解（1）由已知可得，，且函數的定義域為D=．
又y=f（x）是偶函數，故定義域D關于原點對稱．
于是，b=0．
又對任意x∈D有f（x）=f（-x）
因此所求實數b=0．
（2）由（1）可知，（D=（-∞，0）∪（0，+∞）．
考察函數的圖象，可知：f（x）在區間（0，+∞）上增函數．
f（x）在區間（-∞，0）上減函數
因y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，故必有m，n同號．
①當0＜m＜n時，f（x）在 區間[m，n]上是增函數有，即方程，也就是2x²-2ax+1=0有兩個不相等的正實數根，因此，解得．
②當m＜n＜0時，f（x）區間[m，n]上是減函數有，化簡得（m-n）a=0，
解得a=0．
綜上所述，所求實數a的取值范圍a=0或．
分析：（1）利用向量的數量積公式求出f（x），利用偶函數的定義列出方程f（x）=f（-x）恒成立，求出b的值．
（2）先判斷出f（x）的單調性，對x分段討論求出函數f（x）的最值，列出方程組，求出a 的值．
點評：解決函數的奇偶性問題常利用奇函數、偶函數的定義得到恒成立的等式，注意具有奇偶性的函數的定義域關于原點對稱．