Question

已知數列滿足,.
(1)若為遞增數列,且成等差數列,求的值;
(2)若,且是遞增數列,是遞減數列,求數列的通項公式.

Answer 1

(1)   (2) 或

試題分析:(1)利用數列的單調性,得到的符號去掉的絕對值,再分布令得到之間的關系,再利用題目已知等差中項的性質列出關于的等式,即可求出的值.
(2)根據數列在為奇數和偶數的單調性可得到且,兩不等式變為同號相加即可得到,根據題意可得結合與可去掉的絕對值,分為奇或偶數,利用疊加法即可求出數列的通項公式.
(1)因為數列為遞增數列,所以,則,分別令可得,因為成等差數列,所以或,
當時,數列為常數數列不符合數列是遞增數列,所以.
(2)由題可得,因為是遞增數列且是遞減數列,所以且,則有,因為
(2)由題可得,因為是遞增數列且是遞減數列,所以且,兩不等式相加可得,
又因為,所以,即,
同理可得且,所以,
則當時,,這個等式相加可得
.
當時, ,這個等式相加可得
,當時,符合,故
綜上.