Question

如圖，過曲線C：y=e^-x上一點P₀（0，1）做曲線C的切線l₀交x軸于Q₁（x₁，0）點，又過Q₁做x軸的垂線交曲線C于P₁（x₁，y₁）點，然后再過P₁（x₁，y₁）做曲線C的切線l₁交x軸于Q₂（x₂，0），又過Q₂做x軸的垂線交曲線C于P₂（x₂，y₂），…，以此類推，過點P_n的切線l_n與x軸相交于點Q_n+1（x_n+1，0），再過點Q_n+1做x軸的垂線交曲線C于點P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x₁、x₂及數列{x_n}的通項公式；
（2）設曲線C與切線l_n及垂線P_n+1Q_n+1所圍成的圖形面積為S_n，求S_n的表達式；
（3）若數列{S_n}的前n項之和為T_n，求證：

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：（1）先求出導函數進而求出切線的斜率，再把1，2代入就可求出求x₁、x₂的值．求出點P_n的切線l_n的方程即可求出及數列{x_n}的通項公式；
（2）直接利用定積分來求S_n的表達式即可；
（3）利用（2）的結論先求出數列{S_n}的前n項之和為T_n，再把所要證明的結論轉化為用數學歸納法證明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e即可

解答：解：（1）y′=-e^-x，設l_n的斜率為k_n，則kn=-e-xn
∴l₀的方程為：y=-x+1，令y=0得x₁=1，∴y₁=-e^-1P₁（1，e^-1），k1=-e-x1=-e-1
∴l₁的方程為：y-e^-1=-e^-1（x-1），令y=0得x₂=2，
一般地，l_n的方程為：y-e-xn=-e-xn(x-xn)，由Q_n+1（x_n+1，0）∈l_n
得：x_n+1-x_n=1，∴x_n=n （4分）
（2）Sn=

∫

n+1 n

e-xdx-

1

2

(xn+1-xn)yn=-e-x

|

n+1 n

-

1

2

yn=(-e-n-1+e-n)-

1

2

e-n
=

e-2

2e

•

1

en

（8分）
（3）Tn=

e-2

2e

•(

1

e1

+

1

e2

++

1

en

)=

e-2

2e

•

1 e [1-( 1 e )n]

1- 1 e

=

e-2

2e(e-1)

•(1-

1

en

)

Tn+1

Tn

=

1- 1 en+1

1- 1 en

=

en+1-1

en+1-e

=1+

e-1

en+1-e

，

xn+1

xn

=

n+1

n

=1+

1

n

∴要證：

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

，只要證明：

e-1

en+1-e

＜

1

n

，
即只要證明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e（10分）
證明；數學歸納法：
（一）當n=1時，顯然（e-1）²＞0?e²＞2e-1?e²＞（e-1）+e成立
（二）假設n=k時，有e^k+1＞（e-1）k+e
當n=k+1時，e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]
而e[（e-1）k+e]-[（e-1）（k+1）+e]=（e-1）²（k+1）＞0
∴e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]＞（e-1）（k+1）+e
這說明n=k+1時不等式也成立，由（一）（二）知

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

對一切正整數n都成立．

點評：一般在作數列與函數的綜合題時，多用到數學歸納法的應用，所以要把這幾個知識點掌握好．