Question

已知函數f（x）=e^x，x∈R．
（1）若直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖象相切，求實數k的值；
（2）設x＞0，討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點的個數；
（3）設函數h（x）滿足x²h′（x）+2xh（x）=

f(x)

x

，h（2）=

f(2)

8

，試比較h（e）與

7

8

的大小．

Answer 1

分析：（1）求出函數的反函數，利用直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖象相切，求實數k的值；
（2）利用導數求函數的最值，利用最值討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點的個數；

解答：解：（1）函數f（x）的反函數為g（x）=lnx，g′(x)=

1

x

，
設切點為P（x₀，y₀），則k=

1

x0

，切線方程：y=

1

x0

x-1+lnx0，
則-1+lnx₀=1，
所以x₀=e^x，即k=

1

e2

．
（Ⅱ）設h(x)=

ex

x2

(x＞0)，則h′(x)=

ex(x-2)

x3

，
由h′（x）＞0，得x＞2，
由h′（x）＜0，得0＜x＜2，
所以h（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，所以h(x)min=h(2)=

e2

4

，
且x＞0且x→0，則h（x）→+∞；x→+∞，則h（x）→+∞．
所以當0＜m＜

e2

4

時，沒有交點；
當m=

e2

4

時，有1個公共點；
當m＞

e2

4

時，2個交點；
（3）令F（x）=x²h（x），則F′（x）=x²h′（x）+2xh（x）=

ex

x

所以h（x）=

F(x)

x2

，故h′（x）=

F′(x)x2-2xF(x)

x4

=

ex-2F(x)

x3

令G（x）=e^x-2F（x），則G′（x）=e^x-2F′（x）=e^x-2•

ex

x

=

ex(x-2)

x

顯然，當0＜x＜2時，G′（x）＜0，G（x）單調遞減；
當x＞2時，G′（x）＞0，G（x）單調遞增；
所以，在（0，+∞）范圍內，G（x）在x=2處取得最小值G（2）=0．
即x＞0時，e^x-2F（x）≥0．
故在（0，+∞）內，h′（x）≥0，
所以h（x）在（0，+∞）單調遞增，
又因為h（2）=

f(2)

8

=

e2

8

＞

7

8

，h（2）＜h（e）
所以h（e）＞

7

8

．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，主要是求單調區間問題，屬于難題．