Question

(本小題滿分13分)
已知橢圓的離心率為，橢圓短軸長為. 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點. ①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；②若點，求證：為定值。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）①②

試題分析：（Ⅰ）因為滿足，
。解得，則橢圓方程為 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
（Ⅱ）（1）將代入中得 
 
因為中點的橫坐標為，所以，解得 ┄┄┄┄8分
（2）由（1）知，
所以 
 
；┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
點評：圓錐曲線是歷年高考中比較常見的壓軸題之一，近年高考中其解答難度有逐漸降低的趨勢，通過解析幾何的自身特點，結合相應的數學知識，比如不等式、數列、函數、向量、導數等加以綜合。這就要求在分析、解決問題時要充分利用數形結合、設而不求法、弦長公式及韋達定理綜合思考，重視函數與方程思想、數形結合思想、對稱思想、等價轉化思想的應用。