Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，3a_n+1+4S_n=3（n為正整數）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記S=a₁+a₂+…+a_n+…，若對任意正整數n，kS＜S_n恒成立，求k的取值范圍？
（3）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a為首項，a為公比的等比數列前n項和記為T_n，問是否存在實數a使得對于任意的n∈N^*，均有T_n∈A．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）3a_n+1+4s_n=3，3a_n+4s_n-1=3，兩式相減，得3a_n+1-3a_n+4（S_n-S_n-1）=0，由此能求出數列{a_n}是等比數列，即可求出數列{a_n}的通項公式．
（2）將k進行分離，然后討論n的奇偶，根據數列的單調性可求函數的最值，由此能求出k的最大值．
（3）討論a與1的大小，求出集合A，當a≥1時，T₂=a+a²，T₂∈A，可求出a，當0＜a＜1時求出T_n的范圍，對任意的n∈N^*，要使T_n∈A，建立關于a的不等關系，解之即可．
解答：解：（1）由題意知，當n≥2時，兩式相減變形得：
又n=1時，，于是  …（1分）
故 {a_n}是以a₁=1為首項，公比的等比數列∴…（4分）
（2）由得 =f（n）…（5分）
當n是偶數時，f（n）是n的增函數，于是，故…（7分）
當n是奇數時，f（n）是n的減函數，因為，故k≤1．…（9分）
綜上所述，k的取值范圍是…（10分）
（3）①當a≥1時，A={x|1≤x≤a}，T₂=a+a²，若T₂∈A，則1≤a+a²≤a．得
此不等式組的解集為空集．
即當a≥1時，不存在滿足條件的實數a．…（13分）
②當0＜a＜1時，A={x|a≤x≤1}．
而是關于n的增函數．
且．…（15分）
因此對任意的n∈N^*，要使T_n∈A，只需解得．…（18分）
點評：本題考查數列的遞推式和數列性質的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意不等式和數列的綜合應用，屬于中檔題．