Question

已知

m

=(a，b)，

n

=(cos(

π

2

-x)，sin(x+

π

2

))，函數f(x)=

m

•

n

的圖象經過點(

π

3

， 0)和(

π

2

， 1)．
（1）求實數a和b的值．
（2）當x為何值時，f（x）取得最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩向量的坐標求得函數f（x）的解析式，把點(

π

3

， 0)和(

π

2

， 1)代入解析式聯立求得a和b．
（2）根據（1）可得函數的解析式然后利用兩角和公式化簡整理，利用正弦函數的性質求得函數的最大值時x的值．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

m

•

n

=asinx+bcosx的圖象經過點(

π

3

， 0)和(

π

2

， 1)，
∴

asin π 3 +bcos π 3 =0 asin π 2 +bcos π 2 =1.

即

3 2 a+ 1 2 b=0 a=1.

解得

a=1 b=- 3 .

．
（2）由（1）得f(x)=sinx-

3

cosx=2(

1

2

sinx-

3

2

cosx)=2sin(x-

π

3

)．
∴當sin(x-

π

3

)=1，即x-

π

3

=2kπ+

π

2

，
即x=2kπ+

5π

6

（k∈Z）時，f（x）取得最大值2．

點評：本題主要考查了三角函數的最值，向量的數量積的計算．要求學生對基礎知識能力熟練掌握．