Question

已知點P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，F₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點，滿足|PF₁|=6-|PF₂|，且橢圓C的離心率為

5

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點Q（1，0）且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于兩個不同點M、N，在x軸上是否存在定點G，使得

GM

•

GN

為定值．若存在，求出所有滿足這種條件的點G的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求橢圓C的方程，根據已知|PF₁|=6-|PF₂|，可求2a，又

c

a

=

5

3

可求c，然后由b²=a²-c²可求b，進而可求橢圓C的方程
（Ⅱ）假設存在符合條件的點G（t，0），因l不垂直于x軸，可設直線l的方程為y=k（x-1），聯立方程可得（4+9k²）x²-18k²x+9k²-36=0，由點Q（1，0）在橢圓內部，可得直線l必與橢圓有兩個不同交點．根據方程根與系數可設點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x1+x2=

18k2

4+9k2

，x1x2=

9k2-36

4+9k2

．

GM

•

GN

=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(1+k2)

9k2-36

4+9k2

-

18k2

4+9k2

(t+k2)+t2+k2．（﹡）
解法一：設

GM

•

GN

=s，則(1+k2)

9k2-36

4+9k2

-

18k2

4+9k2

(t+k2)+t2+k2=s，整理得：（9t²-18t-9s-23）k²+4t²-4s-36=0，此式對任意k∈R恒成立，整理可求
解法二：由（﹡）式整理得=

8t- 232 9

9k2+4

+t2-2t-

23

9

．若

GM

•

GN

為定值，則

8t- 232 9

9k2+4

+t2-2t-

23

9

對任意k∈R恒為常數，從而可求

解答：解：（Ⅰ）因為|PF₁|=6-|PF₂|，所以2a=6，即a=3
又

c

a

=

5

3

，所以c=

5

，b²=a²-c²=4
所以橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）假設存在符合條件的點G（t，0），因l不垂直于x軸，設直線l的方程為y=k（x-1），
與橢圓C：

x2

9

+

y2

4

=1聯立并消去y得：（4+9k²）x²-18k²x+9k²-36=0
∵點Q（1，0）在橢圓內部，∴直線l必與橢圓有兩個不同交點．
設點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x1+x2=

18k2

4+9k2

，x1x2=

9k2-36

4+9k2

．

GM

=(x1-t，y1)，

GN

=(x2-t，y2)

GM • GN =(x1-t)(x2-t)+y1y2 ，   =x1x2-(x1+x2)t+t2+k2(x1-1)(x2-1) ，   =(1+k2)x1x2-(x1+x2)(t+k2)+t2+k2

=(1+k2)

9k2-36

4+9k2

-

18k2

4+9k2

(t+k2)+t2+k2．（﹡）
解法一：設

GM

•

GN

=s，則(1+k2)

9k2-36

4+9k2

-

18k2

4+9k2

(t+k2)+t2+k2=s，
整理得：（9t²-18t-9s-23）k²+4t²-4s-36=0，此式對任意k∈R恒成立；
所以

9t2-18t-9s-23=0 4t2-4s-36=0

，解得

t= 29 9 s= 112 81

．
∴存在這樣的定點G(

29

9

，0)滿足題意．
解法二：由（﹡）式得：

GM • GN = (1+k2)(9k2-36)-18k2(t+k2)+k2(9k2+4) 9k2+4 +t2 = -27k2-36-18tk2+4k2 9k2+4 +t2= -3(9k2+4)-24-18tk2+4k2 9k2+4 +t2

=

-24-18tk2+4k2

9k2+4

+t2-3=

4 9 (9k2+4)- 16 9 -24-18tk2

9k2+4

+t2-3
=

-2t(9k2+4)- 16 9 -24+8t

9k2+4

+t2-3+

4

9

=

8t- 232 9

9k2+4

+t2-2t-

23

9

．
若

GM

•

GN

為定值，則

8t- 232 9

9k2+4

+t2-2t-

23

9

對任意k∈R恒為常數，
所以必有8t-

232

9

=0，即t=

29

9

．
從而

GM

•

GN

=t2-2t-

23

9

=

112

81

．
所以存在這樣的定點G(

29

9

，0)滿足題意．

點評：本題考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程，及直線與橢圓相交的應用的求法，關鍵是利用題中給出的條件，靈活運用韋達定理，利用方程的思想進行求解．