Question

（本小題滿分12分）  

 設，   ．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數；

（3）如果對任意的，都有成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）4

（3）

【解析】解：（1）當時，，，

，，

所以曲線在處的切線方程為；          2分

（2）存在，使得成立

等價于：，

考察，，

		遞減	極（最）小值	遞增

   

 

 

 

 

由上表可知：，

，

所以滿足條件的最大整數；                         6分

（3）對任意的，都有成立

等價于：在區間上，函數的最小值不小于的最大值，

        由（2）知，在區間上，的最大值為。

，下證當時，在區間上，函數恒成立。

當且時，，

記，，  

當，；當，

，

所以函數在區間上遞減，在區間上遞增，

，即，    

所以當且時，成立，

即對任意，都有。                 12分

 （3）另解：當時，恒成立

等價于恒成立，

記，，   。

記，，由于，

,   所以在上遞減，

當時，，時，，

即函數在區間上遞增，在區間上遞減，

所以，所以