Question

已知函數f(x)=x3-x2+ax-a(a∈R).

(1)當a=-3時,求函數f(x)的極值.

(2)若函數f(x)的圖象與x軸有且只有一個交點,求a的取值范圍.

 

Answer 1

(1) 當x=-1時,函數f(x)取得極大值為f(-1)=--1+3+3=,

當x=3時,函數f(x)取得極小值為f(3)=×27-9-9+3=-6.

(2) (0,+∞)

【解析】(1)當a=-3時,f(x)=x3-x2-3x+3.

f'(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).

令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.

當x<-1時,f'(x)>0,

則函數在(-∞,-1)上是增函數,

當-1<x<3時,f'(x)<0,

則函數在(-1,3)上是減函數,

當x>3時,f'(x)>0,

則函數在(3,+∞)上是增函數.

所以當x=-1時,函數f(x)取得極大值為f(-1)=--1+3+3=,

當x=3時,函數f(x)取得極小值為f(3)=×27-9-9+3=-6.

(2)因為f'(x)=x2-2x+a,

所以Δ=4-4a=4(1-a).

①當a≥1時,則Δ≤0,∴f'(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上單調遞增.

f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,當a≥1時函數的圖象與x軸有且只有一個交點.

②a<1時,則Δ>0,∴f'(x)=0有兩個不等實數根,不妨設為x1,x2(x1<x2),∴x1+x2=2,x1·x2=a,

則

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵-2x1+a=0,∴a=-+2x1,

∴f(x1)=-+ax1-a

=-+ax1+-2x1

=+(a-2)x1

=x1[+3(a-2)],

同理f(x2)=x2[+3(a-2)].

∴f(x1)·f(x2)=x1x2[+3(a-2)][+3(a-2)]=a(a2-3a+3).

令f(x1)·f(x2)>0,解得a>0.

而當0<a<1時,f(0)=-a<0,f(3)=2a>0.

故0<a<1時,函數f(x)的圖象與x軸有且只有一個交點.

綜上所述,a的取值范圍是(0,+∞).