Question

已知a+b+c＞0,abc＞0,ab+bc+ca＞0.

求證:a＞0,b＞0,c＞0.

Answer 1

解析:本題正面證不太易證,可從反面證明.

證明:由abc＞0,可知a、b、c都大于零或兩個負數、一個正數.

若兩個負數、一個正數,不妨設a＞0,b＜0,c＜0.

則由a+b+c＞0,知a＞-(b+c).

又∵b＜0,c＜0,∴b+c＜0.

∴-(b+c)＞0.∴a＞-(b+c)＞0.

∴a(b+c)＜-(b+c)².

∴bc+a(b+c)＜bc-(b+c)²,

即ab+bc+ac＜-b²-bc-c²＜0.

這與已知ab+bc+ac＞0相矛盾.

∴不可能有兩個負數、一個正數,只能都是正數,

即a＞0,b＞0,c＞0成立.