Question

已知常數，向量，經過定點以為方向向量的直線與經過定點以為方向向量的直線相交于，其中，
（1）求點的軌跡的方程；（2）若，過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍。

Answer 1

（I）；（II）

試題分析：（I）利用向量共線定理和坐標運算即可得出；
（II）對直線的斜率分類討論，當直線的斜率存在時，設直線的方程為y=kx+1與雙曲線的方程聯立，即可得到根與系數的關系，再利用向量的數量積和對k分類討論即可得出．
試題解析：（1）設點的坐標為，則
，
又，，
，
又因為向量與向量平行，所以
向量與向量平行，所以，兩式聯立消去得的軌跡方程為，即。
（2）因為，所以的軌跡的方程為，
此時點為雙曲線的焦點。
（I）若直線的斜率不存在，其方程為，
與雙曲線的兩焦點為，
此時
（II）若直線的斜率存在，設其方程為，
由，設交點為
，則，

當時，，；
當或時，，；
綜上可知，的取值范圍是。