Question

求函數f（x）=x²-2ax-1在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析：先判斷二次函數的開口方向及對稱軸，然后根據對稱軸與已知區間的位置關系進行求解函數的最值，進而可求值域

解答：解：∵函數f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=a
①當a＜0時，函數f（x）在[0，2]上單調遞增
∴f（x）_max=f（2）=3-4a，f（x）_min=f（0）=-1
值域為[-1，3-4a]…（3分）
②當0≤a＜1時，函數f（x）在[0，a]上單調遞減，在[a，2]上單調遞增
∴f（x）_max=f（2）=3-4a，f（x）_min=f（a）=-1-a²
值域為[-a²-1，3-4a]…（5分）
③當1≤a＜2時函數f（x）在[0，a]上單調遞減，在[a，2]上單調遞增
∴f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（a）=-1-a²
值域為[-a²-1，-1]…（8分）
④當a≥2時，函數f（x）在[0，2]上單調遞減
∴f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（2）=3-4a
值域為[3-4a，1]

點評：本題主要考查了二次函數在閉區間上的最值的求解，解題的關鍵是確定函數的對稱軸與區間的位置關系，體現了分類討論思想的應用．