Question

（2013•內江一模）某市為增強市民的環境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者．把符合條件的1000名志愿者按年齡分組：第1組[20，25）、第2組[25，30）、第3組[30，35）、第4組[35，40）、第5組[40，45），得到的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）若從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12名志愿者參加廣場的宣傳活動，應從第3、4、5組各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的條件下，該市決定在這12名志愿者中隨機抽取3名志愿者介紹宣傳經驗求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率；
（3）在（2）的條件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3組的人數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由頻率和頻數的關系可得每組的人數，由分層抽樣的特點可得要抽取的人數；
（2）求出總的可能，再求出4組至少有一位志愿者倍抽中的可能，由古典概型的概率公式可得；
（3）可得ξ的可能取值為：0，1，2，3，分別求其概率可得其分布列，由期望的定義可得答案．

解答：解：（1）由題意可知，第3組的人數為0.06×5×1000=300，第4組的人數為0.04×5×1000=200，
第5組的人數為0.02×5×1000=100，第3、4、5組共600名志愿者，
故由分層抽樣的特點可知每組抽取的人數為：第3組

12

600

×300=6，第4組

12

600

×200=4，
第5組

12

600

×100=2，所以第3、4、5組分別抽取6人，4人，2人；
（2）從12名志愿者中抽取3名共有

C

3 12

=220種可能，第4組至少有一位志愿者倍抽中有

C

3 12

-

C

3 8

=164種可能，
所以第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為P=

164

220

=

41

55

；
（3）ξ的可能取值為：0，1，2，3，且P（ξ=0）=

C 0 6 C 3 6

C 3 12

=

20

220

，P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 6

C 3 12

=

90

220

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 6

C 3 12

=

90

220

，P（ξ=3）=

C 3 6 C 0 6

C 3 12

=

20

220

，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	20 220	90 220	90 220	20 220

∴ξ的期望Eξ=0×

20

220

+1×

90

220

+2×

90

220

+3×

20

220

=1.5

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及頻率分布直方圖和期望的求解，屬中檔題．