Question

已知f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據奇偶性的定義，將函數f（-x）化簡整理，可得f（-x）=-f（x），所以f（x）在其定義域上是奇函數；
（2）利用函數單調性的定義，取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，通過作差因式分解，得到f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）是R上的增函數．

解答：解：（1）f（x）的定義域為R
∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x）
∴f（x）是奇函數…（6分）
（2）任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，可得2x1＜2x2，且2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂）
所以函數f(x)=

2x-1

2x+1

是（-∞，+∞）上的增函數．

點評：本題給出含有指數式的分式函數，討論函數的奇偶性和單調性，著重考查了函數的單調性和奇偶性的定義、基本初等函數性質等知識，屬于中檔題．