Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F₁F₂，P為左支上一點，P到左準線的距離為d，若d、|PF₁|、|PF₂|成等比數列，則其離心率的取值范圍是（　　）

• A、[

  2

  ，+∞）
• B、（1，

  2

  ]
• C、[1+

  2

  ，+∞）
• D、（1，1+

  2

  ]

Answer 1

分析：根據雙曲線的定義可知PF₂|=|PF₁|+2a=，進而根據d，|PF₁|，|PF₂|成等比數列推斷|PF₂|=e|PF₁|，結合：|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，可得e²-2e-1≤0，從而可求離心率e的范圍．

解答：解：∵|PF1|²=d•|PF₂|，∴

|PF1|

d

=

|PF2|

|PF1|

=e，即|PF₂|=e|PF₁|…①，
又|PF₂|-|PF₁|=2a…②．
由①②解得：|PF₁|=

2a

e-1

，|PF₂|=

2ae

e-1

，
又在焦點三角形F₁PF₂中：|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
即：

2a(e+1)

e-1

≥2c，即e²-2e-1≤0，
解得：1-

2

≤e≤1+

2

，又e＞1，∴1＜e≤1+

2

，
故選D．

點評：本題主要考查雙曲線的定義及性質，有一定的綜合性．