Question

已知橢圓C的中心為原點，點F（1，0）是它的一個焦點，直線l過點F與橢圓C交于A，B兩點，且當直線l垂直于x軸時，OA•OB=

5

6

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得在橢圓C的右準線上可以找到一點P，滿足△ABP為正三角形．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，由于告訴了橢圓為焦點在x軸的橢圓所以可以利用定義設出 方程，然后建立a，b的方程求解即可；
（2）問是否存在的問題在圓錐曲線中就先假設存在，分斜率存在于不存在加以討論，并把直線方程與橢圓方程進行連聯立，利用設而不求整體代換進行求解．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則a²-b²=1．①
∵當l垂直于x軸時，A，B兩點坐標分別是（1，

b2

a

）和（1，-

b2

a

），
∴

OA

•

OB

=（1，

b2

a

）•（1，-

b2

a

）=1-

b4

a2

，則1-

b4

a2

=

5

6

，即a²=6b⁴．②
由①，②消去a，得6b⁴-b²-1=0．∴b²=

1

2

或b²=-

1

3

．
當b²=

1

2

時，a²=

3

2

．因此，橢圓C的方程為

2x2

3

+2y²=1．
（Ⅱ）設存在滿足條件的直線l．
（1）當直線l垂直于x軸時，由（Ⅰ）的解答可知|AB|=

2b2

a

=

6

3

，焦點F到右準線的距離為d=

a2

c

-c=

1

2

，
此時不滿足d=

3

2

|AB|．
因此，當直線l垂直于x軸時不滿足條件．
（2）當直線l不垂直于x軸時，設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) 2x2 3 +2y2=1

?（6k²+2）x²-12k²x+6k²-3=0，
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6k2

3k2+1

，x₁x₂=

6k2-3

6k2+2

．
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2) 2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 6k2 3k2+1 )2-4( 6k2-3 6k2+2 )]

=-

6 (k2+1)

3k2+1

．
又設AB的中點為M，則x_M=

x1+x2

2

=

3k2

3k2+1

．
當△ABP為正三角形時，直線MP的斜率為k_MP=-

1

k

．
∵x_p=

3

2

，∴|MP|=

1+ 1 k2

|x_p-x_M|=

1+ 1 k2

•（

3

2

-

3k2

3k2+1

）=

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

．

當△ABP為正三角形時，|MP|=

3

2

|AB|，即

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

=

3

2

•

6 (k2+1)

3k2+1

，
解得k²=1，k=±1．
因此，滿足條件的直線l存在，且直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．

點評：（1）次問重點考查了利用方程的思想由題意列出變量a，b的兩個方程，然后求解曲線的軌跡方程；
（2）次問重點考查了分類討論的思想及把直線方程與圓錐曲線方程進行聯立設而不求整體代換的思想，還有對于圓錐曲線中是否存在利用假設的解題方法．