Question

（本小題滿分12分）已知函數．

（1）當時，證明函數只有一個零點；

（2）若函數在區間上是減函數，求實數的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 略．

(2)

【解析】解：（Ⅰ）當時，，其定義域是………1分

    ∴                   ………………………2分  

    令，即，解得或．

    ，∴  舍去．                          …………………3分

    當時，；當時，．

    ∴ 函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減

    ∴ 當x =1時，函數取得最大值，其值為．

    當時，，即．

    ∴ 函數只有一個零點．                      ………………………6分 

（Ⅱ）顯然函數的定義域為

    ∴ ……………7分

    ①當時，在區間

    上為增函數，不合題意………9分

    ②當時，等價于，即

    此時的單調遞減區間為．

    依題意，得解之得．                     …………………9分

    當時，等價于，即

    此時的單調遞減區間為，

    ∴     得            ………………………11分

    綜上，實數的取值范圍是

              ………………………12分

    法二：

    ①當時，

    在區間上為增函數，不合題意……………7分

    ②當時，要使函數在區間上是減函數，

    只需在區間上恒成立，只要恒成立，

    解得或                  ………………………11分

    綜上，實數的取值范圍是

             ………………………12分