Question

(本小題滿分13分)
已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x²＋y²－10x＋20＝0相切.過點P(－4,0)作斜率為的直線l，使得l和G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，又滿足|PA|·|PB|＝|PC|².
(1)求雙曲線G的漸近線的方程；
(2)求雙曲線G的方程；
(3)橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸.如果S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，求橢圓S的方程.

Answer 1

解：(1)設雙曲線G的漸近線的方程為y＝kx，
則由漸近線與圓x²＋y²－10x＋20＝0相切可得＝，
所以k＝±，即雙曲線G的漸近線的方程為y＝±x.(3分)
(2)由(1)可設雙曲線G的方程為x²－4y²＝m，
把直線l的方程y＝(x＋4)代入雙曲線方程，
整理得3x²－8x－16－4m＝0，
則x_A＋x_B＝，x_Ax_B＝－.(*)
∵|PA|·|PB|＝|PC|²，P、A、B、C共線且P在線段AB上，
∴(x_P－x_A)(x_B－x_P)＝(x_P－x_C)²，即(x_B＋4)(－4－x_A)＝16，
整理得4(x_A＋x_B)＋x_Ax_B＋32＝0.
將(*)代入上式得m＝28，
∴雙曲線的方程為－＝1.(8分)
(3)由題可設橢圓S的方程為＋＝1(a>2)，
設垂直于l的平行弦的兩端點分別為M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，MN的中點為P(x₀，y₀)，
則＋＝1，＋＝1，
兩式作差得＋＝0.
由于＝－4，x₁＋x₂＝2x₀，y₁＋y₂＝2y₀，
所以－＝0，
所以，垂直于l的平行弦中點的軌跡為直線－＝0截在橢圓S內的部分.
又由已知，這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，所以＝，即a²＝56，
故橢圓S的方程為＋＝1.(13分)

略