Question

命題p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一負根．命題q：函數y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸無公共點．若命題“pⅤq”為真命題，而命題“p∧q”為假命題，則實數a的取值范圍是

（0，1]∪[5，6）

．

Answer 1

分析：先求出命題p和命題q均為真命題時a的范圍，再根據命題“p∪q”為真命題，而命題“p∧q”為假命題分情況討論得出結論．

解答：解：命題p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一負根，則得：
x1•x2=a2-6a＜0，
即：0＜a＜6；
命題q：函數y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸無公共點，可得：
△=（a-3）²-4＜0，
∴1＜a＜5；
又∵命題“p或q”為真命題，而命題“p且q”為假命題，
∴命題p與命題q一真一假，
當命題p為真且命題q為假時，有：

0＜a＜6 a≤1或a≥5

，
即：a∈（0，1]∪[5，6）；
當命題q真且命題p假時，有：

a≤0或a≥6 1＜a＜5

，
此時a的解集為∅．
綜上所述：a∈（0，1]∪[5，6）．
故答案為：a∈（0，1]∪[5，6）．

點評：本題主要考查對復合命題真假的判斷，這是常考查的地方，要做到熟練掌握．