Question

（2006•重慶一模）某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，…，按照這種規律進行下去．設n小時后細胞的個數為a_n（n∈N）．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）求

n

i=0

ai=a0+a1+a2+…+an的表達式．

Answer 1

分析：（I）由細胞開始時為2個，得到a₀為2，根據分裂的規律得到a_n=2a_n-1-1，變形后得到數列{a_n-1}構成以a₀-1=1為首項，2為公比的等比數列，由首項和公比，表示出a_n-1的通項，變形后即可得到a_n的通項公式；
（II）由第一問求出的a_n的通項公式，列舉出所求式子的各項，把第一項的2變為1+1后，根據1的個數有n+1個，其余各項為首項為1，公比為2的等比數列，利用等比數列的求和公式表示出其余項的和，即可得到所求式子的表達式．

解答：解：（I）由題意可知：a₀=2，a_n=2a_n-1-1，即a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數列{a_n-1}構成以a₀-1=1為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n-1=（a₀-1）•2ⁿ=2ⁿ，
則a_n=2ⁿ+1；
（II）∵a₀=2，a_n=2ⁿ+1，
∴

n

i=0

ai=a0+a1+a2+…+an
=2+（2+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）
=（1+1+…+1）+（1+2+2²+…+2ⁿ）
=（n+1）+（1+2+2²+…+2ⁿ）
=n+1+

1-2n

1-2

=2ⁿ+n．

點評：此題考查了等比數列的確定，以及等比數列的求和公式，其中根據題意得出a₀=2，a_n=2a_n-1-1是解本題的關鍵．