Question

已知菱形ABCD中，對角線AC=

3

，BD=1，P是AD邊上的動點，則

PB

•

PC

的最小值為

1

2

．

Answer 1

分析：分別以對角線BD，AC為x軸、y軸建立直角坐標系，設P（x，y），由

AP

∥

AD

可得

1

2

y+

3

4

-

3

2

x=0，代入

PB

•

PC

=(-

1

2

-x，-y)•（-x，

3

2

-y）=-

1

2

x+x2-

3

2

y+y2=4x2-4x+

3

2

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：分別以對角線BD，AC為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標系
∵AC=

3

，BD=1，AC⊥BD
∴A（0，-

3

2

），B（-

1

2

，0），C（0，

3

2

），D（

1

2

，0），

AD

=(

1

2

，

3

2

)
∵P是AD邊上的動點，設P（x，y），

AP

=(x，y+

3

2

)，
∵

AP

∥

AD

∴

1

2

y+

3

4

-

3

2

x=0
∵

PC

=(-x，

3

2

-y )，

PB

=(-

1

2

-x，-y)
∴

PB

•

PC

=(-

1

2

-x，-y)•（-x，

3

2

-y）
=-

1

2

x+x2-

3

2

y+y2=4x2-4x+

3

2

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當x=

1

2

時，值最小為

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示的應用，二次函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)試題