Question

圓心在拋物線x²=2y上，與直線2x+2y+3=0相切的圓中，求面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析：由題意，設圓心為(a，

1

2

a2)，根據點到直線的距離公式將半徑r表示為關于a的函數，利用二次函數的性質算出當a=-1時半徑r的最小值等于

2

2

，由此即可得到所求面積最小的圓的方程．

解答：解：∵圓心在拋物線x²=2y上，∴可設圓心為(a，

1

2

a2)，
又∵直線2x+2y+3=0與圓相切，
∴圓心到直線2x+2y+3=0的距離等于半徑r，
即r=

|2a+a2+3|

22+22

=

|a2+2a+3|

2 2

=

|(a+1)2+2|

2 2

≥

2

2 2

=

2

2

，
可得當a=-1時，半徑r最小，
∴所有的圓中，面積最小圓的半徑r=

2

2

，此時圓的圓心坐標為(-1，

1

2

)．
因此，所求圓的方程為(x+1)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．

點評：本題給出圓心在拋物線上的圓，求當圓與定直線相切時圓的方程．著重考查了圓的標準方程、直線與的位置關系、二次函數的性質和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．