Question

已知函數的圖象過點(1,2)，相鄰兩條對稱軸間的距離為2，且的最大值為2.

（Ⅰ）求的單調遞增區間；

（Ⅱ）計算；

（Ⅲ）設函數，試討論函數在區間[1，4]上的零點情況.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）見解析（Ⅲ）

【解析】(I)根據題目給的條件可A=2，T=4，可得,再根據圖像過點（1，2），

可求出.從而確定f(x)的表達式進而可求出其單調增區間.

，

由于的最大值為2且A>0，

 ∴ 所以即A=2

∴，又函數的圖象過點(1,2)則

 

 ∴

由得

∴的單調增區間是

 (II)由于周期為4,所以只需要求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值，然后即可知.

由（Ⅰ）知，

∴的周期為4，而2012=4×503

且

∴原式

 (III)解本小題的關鍵是知道

函數的零點個數即為函數的圖象與直線的交點個數.然后分別作出其圖像，從圖像上觀察得到結論即可.

函數的零點個數即為函數的圖象與直線的交點個數.

在同一直角坐標系內作出這兩個函數的圖象(如下圖所示)，

由圖象可知:

1） 當或時，函數的圖象與直線無公共點，即函數無零點；

2） 當或時，函數的圖象與

直線有一個公共點，即函數有一個零點；

3） 當時，函數的圖象與

直線有兩個公共點，即函數有兩個零點.