Question

已知函數
（1）討論函數f (x)的極值情況；
（2）設g (x) =" ln(x" + 1)，當x₁>x₂>0時，試比較f (x₁ – x₂)與g (x₁ – x₂)及g (x₁) –g (x₂)三者的大小；并說明理由．

Answer 1

（1）f (x)在(0, +∞)上遞增，故f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值  （2）見解析

本試題主要考查了分段函數的極值的問題的運用。利用三次函數的極值的判定結合證明。以及利用單調性證明不等式的問題的綜合運用。
（1）分別對于兩段函數的單調性進行判定，確定極值問題。
(2)先對當x >0時，先比較e^x – 1與ln(x + 1)的大小，
然后得到就是f (x) > g (x) ，成立．再比較與g (x₁) –g (x₂) =ln(x₁ + 1) –ln(x₂ + 1)的大小．，利用作差法得到證明。
解：（1）當x>0時，f (x) = e^x – 1在(0，+∞)單調遞增，且f (x)>0；
當x≤0時，．
①若m = 0，f ′(x) = x²≥0, f (x) =在(–∞，0]上單調遞增，且f (x) =．
又f (0) = 0，∴f (x)在R上是增函數，無極植；
②若m<0，f ′(x) = x（x + 2m) >0，則f (x) =在(–∞，0)單調遞增，同①可知f (x)在R上也是增函數，無極值；        ………………4分
③若m>0，f (x)在(–∞，–2m]上單調遞增，在(–2m，0)單調遞減，
又f (x)在(0, +∞)上遞增，故f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值． 6分
（2）當x >0時，先比較e^x – 1與ln(x + 1)的大小，
設h(x) = e^x – 1–ln(x + 1)   (x >0)
h′(x) =恒成立
∴h(x)在(0，+∞)是增函數，h(x)>h (0) = 0
∴e^x – 1–ln(x + 1) >0即e^x – 1>ln(x + 1)
也就是f (x) > g (x) ，成立．
故當x₁ – x₂>0時，f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂)……………………………10分
再比較與g (x₁) –g (x₂) =ln(x₁ + 1) –ln(x₂ + 1)的大小．
=
=
∴g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂)
∴f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂) ．