Question

等邊三角形的邊長為3,點、分別是邊、上的點,且滿足(如圖1).將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結、 (如圖2).

（Ⅰ）求證:平面;
（Ⅱ）在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由.

Answer 1

（Ⅱ）在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時

解析試題分析：（Ⅰ）二面角為直二面角,要證平面；只要證；
（Ⅱ）假設存在點,使直線與平面所成的角為，根據直線與平面所成的角的定義作出
直線與平面所成的角，設的長為，用表示，在直角中，
根據勾股定理列出方程，若方程有解則存在，否則不存在.或借助已有的垂直關系；也可以為坐標原點建立空間直角標系,求出平面的一個法向量 ，利用建立方程，解這個方程探求 點的存在性.
試題解析：證明:(1)因為等邊△的邊長為3,且,
所以,. 在△中,,
由余弦定理得
. 因為,
所以.          3分
折疊后有,因為二面角是直二面角,
所以平面平面  ,又平面平面,
平面,, 所以平面.    6分

(2)解法1:假設在線段上存在點,使直線與平面所成的角為.
如圖,作于點,連結、 ，
由(1)有平面,而平面,
所以,又, 所以平面,  
所以是直線與平面所成的角  ,          8分
設,則