Question

二階矩陣M有特征值，其對應的一個特征向量e=，并且矩陣M對應的變換將點變換成點．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值及對應的一個特征向量．

Answer 1

（1）（2），

試題分析：（1）由于二階矩陣M有特征值，其對應的一個特征向量e=，并且矩陣M對應的變換將點變換成點.所以通過假設二階矩陣，其中有四個變量，根據以上的條件特征值與特征向量，以及點通過矩陣的變換得到的點，可得到四個相應的方程，從而解得結論.
（2）求矩陣M的特征值，根據特征多項式.即，可求得的值，即可得另一個特征值.即可寫出相應的一個特征向量.
試題解析：（1）解：（1）設M=，則由=6得=，
即a+b=c+d=6． 
由=,得，從而a+2b=8，c+2d=4．
由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；
由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，
所以M=
（2）由（1）知矩陣的特征多項式為

令，得矩陣的特征值為6與．
當時，
故矩陣的屬于另一個特征值的一個特征向量為．