Question

設關于x的一元二次方程2x²-tx-2=0的兩個根為α、β（α＜β）．
（1）若x₁、x₂為區間[α、β]上的兩個不同的點，求證：4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0．
（2）設f（x）=

4x-t

x2+1

，f（x）在區間[α，β]上的最大值和最小值分別為f_max和f_min，g（t）=f_max-f_min，求g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由二次函數圖象特點知，2x12-tx1-2≤0，2x22-tx2-2≤0，則2x12-tx1-2+2x22-tx2-2≤0，整理后使用不等式進行放縮可得結論；
（2）令f′（x）=0，可求得極值點為α，β，從而可知f（x）在[α，β]上的單調性，由單調性可求得最大值、最小值，借助韋達定理可表示出g（t），化簡后利用不等式可求得g（t）的最小值；

解答：解：（1）由2＞0，得y=2x²-tx-2的圖象開口向上，
又x₁、x₂為區間[α、β]上的兩個不同點，
所以2x12-tx1-2≤0，2x22-tx2-2≤0，
所以2x12-tx1-2+2x22-tx2-2≤0，即2(x12+x22)-t（x₁+x₂）-4≤0，
因為x12+x22＞2x1x2（x₁≠x₂），
所以4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜2(x12+x22)-t（x₁+x₂）-4≤0，
故4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0．
（2）對f（x）求導：f′（x）=

-2(2x2-tx-2)

(x2+1)2

，
令f′（x）=0，即2x²-tx-2=0，
所以其極值點即是α，β，可知f（x）在[α，β]上遞增，
f（x）_max=f（β），f（x）_min=f（α），
g（t）=f（β）-f（α）=

4β-t

β2+1

-

4α-t

α2+1

=

(α-β)[4αβ-t(α+β)-4]

(α2+1)(β2+1)

，
又α+β=

t

2

，αβ=-1，則4αβ-t（α+β）-4=-

t2+16

2

，
（α²+1）（β²+1）=α²β²+（α+β）²-2αβ+1=

t2+16

4

，
g（t）=2（β-α），
（β-α）²=（α+β）²-4αβ=

t2

4

+4≥4，所以β-α≥2，
所以g（t）=2（β-α）≥4，即g（t）的最小值為4．

點評：本題考查二次方程根的分布與系數的關系，考查不等式的證明，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，綜合性較強．