Question

函數的定義域為，若存在閉區間，使得函數滿足以下兩個條件：(1)在[m，n]上是單調函數；(2) 在[m，n]上的值域為[2m，2n]，則稱區間[m，n]為的“倍值區間”．下列函數中存在“倍值區間”的有　         　（填上所有正確的序號）
①=x²（x≥0）；      ②=e^x（x∈R）；
③=；④=．

Answer 1

①③④

試題分析：函數中存在“倍值區間”，則：(1)在內是單調函數；(2)，或，①，若存在“倍值區間” ，則，∴，∴，∴，故存在“倍值區間” ；②，若存在“倍值區間” ，則，∴，構建函數，∴，∴函數在上單調減，在上單調增，∴函數在處取得極小值，且為最小值，　∵，∴無解，故函數不存在“倍值區間”；
③，，若存在“倍值區間” ，
則，∴，∴，故存在“倍值區間” ；④且，不妨設，則函數在定義域內為單調增函數，若存在“倍值區間” ，則，∴，則方程，即，由于該方程有兩個不等的正根，故存在“倍值區間” ；綜上知，所給函數中存在“倍值區間”的有①③④，故答案為：①③④．