Question

已知：y=f（x）定義域為[-1，1]，且滿足：f（-1）=f（1）=0，對任意u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（1）判斷函數p（x）=x²-1 是否滿足題設條件？
（2）判斷函數g（x）=

1+x，x∈[-1，0] 1-x，x∈[0，1]

，是否滿足題設條件？

Answer 1

分析：由對任意u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．可得函數圖象上（u，f（u）），（v，f（v））兩點連續的斜率|k|≤1
（1）利用導數法，分析函數p（x）=x²-1切線斜率的范圍，可知函數p（x）=x²-1 不滿足題設條件
（2）分類討論①當這兩點的橫坐標均在區間[-1，0]上時，②當這兩點的橫坐標均在區間[0，1]上時，③當這兩個點的橫坐標分別位于區間[-1，0]和區間[0，1]上時，綜合討論結果，可得函數g（x）=

1+x，x∈[-1，0] 1-x，x∈[0，1]

滿足題設條件

解答：解：若|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
則

|f(u)-f(v)|

|u-v|

=|k|≤1
即函數圖象上任取兩點連線的斜率均不大于1
（1）若p（x）=x²-1，則p′（x）=2x
當這兩點的橫坐標均在區間[-1，-

1

2

）或（

1

2

，1]時，顯然不符合要求
故函數p（x）=x²-1 不滿足題設條件
（2）若函數g（x）=

1+x，x∈[-1，0] 1-x，x∈[0，1]

，
當這兩點的橫坐標均在區間[-1，0]上時，k=1恒成立滿足要求
當這兩點的橫坐標均在區間[0，1]上時，k=-1恒成立滿足要求
當這兩個點的橫坐標分別位于區間[-1，0]和區間[0，1]上時，0≤k＜1滿足要求
故函數g（x）=

1+x，x∈[-1，0] 1-x，x∈[0，1]

滿足題設條件

點評：本題考查的知識點是新定義問題，真正理解新定義的實質是解答的關鍵．