Question

對于每項均是正整數的數列A:a_1,a₂,…,a_n,定義變換T₁，T₁將數列A變換成數列T₁A．：n,a₁-1,a₂-1,…,a_n-1.

對于每項均是非負整數的數列B：b₁,b₂, …,b_m,定義變換T₂，T₂將數列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列T₂（B）：又定義

S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b²₁+b²₂+…+b²_m. 

設A₀是每項均為正整數的有窮數列，令A_k+1=T₂(T₁(A_k))(k=0,1,2, …)

（Ⅰ）如果數列A₀為5，3，2，寫出數列A₁,A₂；

（Ⅱ）對于每項均是正整數的有窮數列A，證明S（T₁A．）=SA．；

（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列A₀，存在正整數K，當k≥K時，S(A_k+1)=S(A_k).

Answer 1

（Ⅰ）解：A₀：5,3,2,   T₁(A₀):3,4,2,1

               A₁=T₂(T₁(A₀)):4,3,2,1;   T₂(A₁):4,3,2,1,0 

               A₂=T₂(T₁(A₁)):4,3,3,1. 

（Ⅱ）證明：設每項均是正整數的有窮數列A為a₁,a₂, …,a_n，

則為n,a₁-1,a₂-1,…,a_n-1,

從而

                           

　　又

所以

＝

       故

（Ⅲ）證明：設A是每項均為非負整數的數列a₁,a₂, …，a_n.

當存在，使得a_i≤a_j時，交換數列A的第i項與第j項得到數列B.則

       ＝2

當存在1≤m＜n,使得時，

若記數列為C，則.

所以

從而對于任意給定的數列A₀，由

可知

又由（Ⅱ）可知，所以.

即對于N,要么有S(A_k+1)=S(A_k)，要么有-1.

因為S(A_k)是大于2的整數，所以經過有限步后，必有

即存在正整數K，當k≥K時，