Question

口袋里有大小相同的4個紅球和8個白球，甲、乙兩人依規則從袋中有放回地摸球，每次取出一個球，規則如下：若一方摸出一個紅球，則此人繼續下一次摸球；若一方摸出一個白球，則由對方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互獨立，并由甲進行第一次摸球．
（1）求在前三次摸球中，甲摸得紅球的次數ξ的數學期望；
（2）設第n次由甲摸球的概率為a_n，試建立a_n與a_n-1（n≥2）的遞推關系．

Answer 1

分析：（1）記“甲摸球一次摸出紅球”為事件A，“乙摸球一次摸出紅球”為事件B，則P(A)=P(B)=

4

4+8

=

1

3

，P(

.

A

)=P(

.

B

)=

2

3

，且A，B相互獨立．依據題意，ξ的可能取值為0，1，2，3，先分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），再求Eξ．
（2）根據摸球規則可知，第n次由甲摸秋包括如下兩個事件：①第n-1次由甲摸球，且摸出紅球，其發生的概率為an-1×

1

3

；②第n-1次由乙摸球，且摸出白球，其發生的概率為(1-an-1)×

2

3

．由此能建立a_n與a_n-1（n≥2）的遞推關系．

解答：解（1）：記“甲摸球一次摸出紅球”為事件A，“乙摸球一次摸出紅球”為事件B
則P(A)=P(B)=

4

4+8

=

1

3

，P(

.

A

)=P(

.

B

)=

2

3

，且A，B相互獨立
依據題意，ξ的可能取值為0，1，2，3，
且P(ξ=0)=P(

.

A

•B)+P(

.

A

.

•B

•

.

A

)=

2

3

×

1

3

+(

2

3

)3=

14

27

，P(ξ=1)=P(A•

.

A

)+P(

.

A

.

•B

•A)=

1

3

×

2

3

+

1

3

×(

2

3

)2=

10

27

，
P(ξ=2)=P(A•A•

.

A

)=(

1

3

)2×

2

3

，
P(ξ=3)=P(A•A•A)=(

1

3

)3=

1

27

∴Eξ=0×

14

27

+1×

10

27

+2×

2

27

+3×

1

27

=

17

27

…（8分）
（2）根據摸球規則可知，第n次由甲摸秋包括如下兩個事件：
①第n-1次由甲摸球，且摸出紅球，
其發生的概率為an-1×

1

3

；
②第n-1次由乙摸球，且摸出白球，
其發生的概率為(1-an-1)×

2

3

，
∵上述兩個事件互斥，
∴an=

1

3

an-1+

2

3

(1-an-1)，
即an=-

1

3

an-1+

2

3

(n≥2)…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的數學期望和方差，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．