Question

已知sin +cos=,∈(0,).求值：

（1）tan;(2)sin-cos;(3)sin³+cos³.

Answer 1

(1)tan=-.(2)sin-cos=.(3)sin³+cos³=

解析:

方法一  ∵sin+cos=,∈(0,),

∴(sin+cos)²==1+2sincos，

∴sincos=-＜0.

由根與系數的關系知，

sin,cos是方程x²-x-=0的兩根，

解方程得x₁=,x₂=-.

∵sin＞0,cos＞0,∴sin=,cosθ=-.

∴(1)tan=-.(2)sin-cos=.(3)sin³+cos³=.

方法二  （1）同方法一.

（2）（sin-cos）²=1-2sin·cos

=1-2×=.

∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,

∴sin-cos=.

(3)sin³+cos³=(sin+cos)(sin²-sincos+cos²)

=×=.