Question

（滿分14分）設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E．

   （1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀；

   （2）已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且（O為坐標原點）,并求出該圓的方程；

   （3）已知,設直線與圓C:（1<R<2）相切于A₁,且與軌跡E只有一個公共點B₁,當R為何值時,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．

Answer 1

（1）略   （2）      （3）

解析:

（1）因為,,,所以,即．當m=0時,方程表示兩直線,方程為；[來源:Z]當時, 方程表示的是圓；當且時,方程表示的是橢圓；當時,方程表示的是雙曲線．

   （2）當時, 軌跡E的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,

則使△=,

即,即,     且

,

要使,   需使,即,

所以,  即且,  即恒成立．

所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,, 所求的圓為．

當切線的斜率不存在時,切線為,與

交于點或也滿足．

綜上, 存在圓心在原點的圓，

使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且．

   （3）當時,軌跡E的方程為,

設直線的方程為,因為直線與圓C:（1<R<2）相切于A₁,

由（2）知,  即    ①,

因為與軌跡E只有一個公共點B₁,由（2）知得,[來源:學科網]

即有唯一解，

則△=,   

即,     ②

由①②得,   此時A,B重合為B₁（x₁,y₁）點,    

由 中,所以,,

B₁（x₁,y₁）點在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,

因為當且僅當時取等號,所以,

即當時|A₁B₁|取得最大值,最大值為1．