Question

（1）若

C

3 n

=

C

3 n-1

+

C

4 n-1

，求n的值；
（2）若(2x-

1

x

)ⁿ展開式中含

1

x2

項的系數與含

1

x4

項的系數之比為-5，求n的值．

Answer 1

分析：（1）依題意，利用組合數公式計算即可求得n的值；
（2）設(2x-

1

x

)ⁿ展開式中的通項為T_k+1，可求得T_k+1=

C

k n

•（-1）^k•2^n-k•x^n-2k，依題意，n=2k-2；同理可得n=2r-4，由

C k n (-1)k2n-k

C r n (-1)r2n-r

=-5，可求得r-k=1，進一步可解得k=4，繼而可得n的值．

解答：解：（1）∵

C

3 n

=

C

3 n-1

+

C

4 n-1

，
∴

n(n-1)(n-2)

3×2×1

=

(n-1)(n-2)(n-3)

3×2×1

+

(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

4×3×2×1

，
整理得：n²-7n=0，
解得：n=7或n=0（舍去）
∴n=7．
（2）設(2x-

1

x

)ⁿ展開式中的通項為T_k+1，
則T_k+1=

C

k n

•(-

1

x

)k•（2x）^n-k=

C

k n

•（-1）^k•2^n-k•x^n-2k，
令n-2k=-2，得n=2k-2，
T_r+1=

C

r n

•（-1）^r•2^n-r•x^n-2r，
令n-2r=-4，n=2r-4．
由題意得

C k n (-1)k2n-k

C r n (-1)r2n-r

=-5，
即

C k n

C r n

(-1)k-r2r-k=-5，
∵r-k=1，
∴化簡

2(k+1)

(k-2)

=5，解得k=4，
∴n=6．

點評：本題考查二項式定理的應用，著重考查組合及組合數公式，考查二項展開式的通項公式，考查運算與轉化能力，屬于中檔題．