Question

橢圓

X2

25

+

Y2

9

=1上不同三點A(x1，y1)，B(4，

9

5

)，C(x2，y2)與焦點F（4，0）的距離成等差數列．
（1）求證x₁+x₂=8；
（2）若線段的垂直平分線與軸的交點為T，求直線的斜率．

Answer 1

分析：（1）由橢圓方程知a=5，b=4，c=3．由圓錐曲線的統一定義知：

|AF|

a2 c -x1

=

c

a

，|AF|=a-ex₁=5-

4

5

x₁．同理|CF|=5-

4

5

x₂．由此能夠證明即x₁+x₂=8．
（2）因為線段AC的中點為（4，

y1+y2

2

），所以它的垂直平分線方程為y-

y1+y2

2

=

x1-x2

y1-y2

（x-4），由點T在x軸上，設其坐標為（x₀，0），代入上式x₀-4=

y 2 1 - y 2 2

2(x1-x2)

，再由點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在橢圓上，知y₂²=

9

25

（25-x₂²），由此能求出直線的斜率．

解答：（1）證明：由橢圓方程知a=5，b=3，c=4．
由圓錐曲線的統一定義知：

|AF|

a2 c -x1

=

c

a

，
∴|AF|=a-ex₁=5-

4

5

x₁．　　同理|CF|=5-

4

5

x₂．
∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=

9

5

，
∴（5-

4

5

x₁）+（5-

4

5

x₂）=

18

5

，即x₁+x₂=8．
（2）解：因為線段AC的中點為（4，

y1+y2

2

），所以它的垂直平分線方程為
y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-4）
又∵點T在x軸上，設其坐標為（x₀，0），代入上式x₀-4=

y 2 1 - y 2 2

2(x1-x2)

，
又∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在橢圓上，
∴y₂²=

9

25

（25-x₂²）
∴y₁²-y₂²=-

9

25

（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
將此式代入①，并利用x₁+x₂=8的結論得x₀-4=-

36

25

，K_BT=

9 5 -0

4-x0

=

5

4

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．