Question

如圖,已知直線l與拋物線x²=4y相切于點P(2,1),且與x軸交于點A,O為坐標原點,點B的坐標為(2,0),(1)若動點M滿足,求點M的軌跡C;(2)若過點B的直線l′(斜率不等于零）與(1)中的軌跡C交于不同的兩點E,F(E在B,F之間)試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓；（II）△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）.

【解析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可以得出直線的方程，從而得出A坐標，再設設帶入已知條件得出x,y的關系式；直線與橢圓的關系通常聯(lián)立直線與橢圓方程得出關于x的一元二次方程，，結(jié)合韋達定理，

表達出△OBE與△OBF面積之比的代數(shù)式。

解：（I）由，  

∴直線l的斜率為，故l的方程為，

∴點A坐標為（1，0）設    則，

由得 整理，得 

∴動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓

（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設l方程為y=k(x－2)(k≠0)①

將①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<0.5.   設E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)

則 ②   令，

由此可得由②知

.

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）