Question

（2013•浦東新區二模）數列{a_n}滿足an+1=

4an-2

an+1

（n∈N^*）．
①存在a₁可以生成的數列{a_n}是常數數列；
②“數列{a_n}中存在某一項ak=

49

65

”是“數列{a_n}為有窮數列”的充要條件；
③若{a_n}為單調遞增數列，則a₁的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，2）；
④只要a1≠

3k-2k+1

3k-2k

，其中k∈N^*，則

lim

n→∞

an一定存在；
其中正確命題的序號為

①④

．

Answer 1

分析：根據已知中數列{a_n}滿足an+1=

4an-2

an+1

（n∈N^*）．舉出正例a₁=1或a₁=2，可判斷①；舉出反例a₁=

1

5

，可判斷②；舉出反例a₁=-2，可判斷③；構造數列b_n=

an-1

an-2

，結合已知可證得數列{b_n}是以

3

2

為公比的等比數列，進而可判斷④．

解答：解：當a₁=1時，a_n=1恒成立，當a₁=2時，a_n=2恒成立，故①正確；
當a₁=

1

5

時，a₂=-1，數列{a_n}為有窮數列，但不存在某一項ak=

49

65

，故②錯誤；
當a₁=-2時，a₁∈（-∞，-1）∪（1，2），此時a₂=10 a₃=

38

11

，數列不存在單調遞增性，故③錯誤；
∵an+1=

4an-2

an+1

∴an+1-1=

4an-2

an+1

-1=

3an-3

an+1

…①
且an+1-2=

4an-2

an+1

-2=

2an-4

an+1

…②
①÷②得：

an+1-1

an+1-2

=

3

2

•

an-1

an-2

令b_n=

an-1

an-2

，則數列{b_n}是以

3

2

為公比的等比數列
則b_n=(

3

2

)n-1•b1
∴a_n=

2•( 3 2 )n-1•b1+1

( 3 2 )n-1•b1-1

=2+

3

( 3 2 )n-1•b1-1

當a1≠

3k-2k+1

3k-2k

時，2+

3

( 3 2 )n-1•b1-1

的極限為2，否則式子無意義，故④正確
故答案為：①④

點評：本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了數列的定義及性質，運算強度大，變形復雜，屬于難題