Question

設f（x）是定 義在R上的一個給定的函數，函數g(x)=

C

0 n

f(

0

n

)(1-x)n+

C

1 n

f(

1

n

)(1-x)n-1x+

C

2 n

f(

2

n

)(1-x)n-2x2+…+

C

n n

f(

n

n

)(1-x)0xn（x≠0，1）
（1）當f（x）=1時，求g（x）；   
（2）當 f（x）=x時，求g（x）．

Answer 1

分析：（1）當f（x）=1時，g（x）=

C

0 n

（1-x）ⁿ+

C

1 n

（1-x）^n-1•x+…+

C

n n

（1-x）⁰•xⁿ=[（1-x）+x]ⁿ，從而可得答案；
（2）當 f（x）=x時，g（x）的通項中的二項式系數可化為：

C

r n

•

r

n

=

C

r-1 n-1

，逆用二項式定理即可得到g（x）的表達式．

解答：解：（1）當f（x）=1時，g（x）=

C

0 n

（1-x）ⁿ+

C

1 n

（1-x）^n-1•x+…+

C

n n

（1-x）⁰•xⁿ
=[（1-x）+x]ⁿ
=1；
（2）∵f（x）=x時，g（x）的通項中的二項式系數為：

C

r n

•

r

n

=

n(n-1)…(n-r+1)

r!

•

r

n

=

C

r-1 n-1

，
∴g（x）=

C

0 n-1

•（1-x）^n-1•x+

C

1 n-1

•（1-x）^n-2•x•x+

C

3 n-1

•（1-x）^n-3•x²•x+…+

C

r-1 n-1

•（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1•x+…+

C

n-1 n-1

•（1-x）⁰•x^n-1•x
=x[

C

0 n-1

•（1-x）^n-1+

C

1 n-1

•（1-x）^n-2•x+

C

3 n-1

•（1-x）^n-3•x²+…+

C

r-1 n-1

•（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1+…+

C

n-1 n-1

•（1-x）⁰•x^n-1]
=x[（1-x）+x]^n-1
=x．

點評：本題考察二項式定理的應用，逆用二項式定理是解決問題的關鍵，求得

C

r n

•

r

n

=

C

r-1 n-1

是基礎，考察學生觀察問題、分析問題、解決問題的綜合素質，屬于難題．