Question

對于函數f(x)=

x

1+|x|

，下列結論正確的是

④

．
①f（x）在（-∞，+∞）上不是單調函數
②?m∈（0，1），使得方程f（x）=m有兩個不等的實數解；
③?k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點；
④?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）．

Answer 1

分析：①判斷函數是奇函數，再用導數法確定函數的單調性即可；
②利用函數在實數集R上具有單調性，即可得到結論；
③0是方程f（x）-kx=0的一個根＜而當x＞0，k＞1時，方程

x

1+x

-kx=0無解，即函數g（x）無零點，同理x＜0時，亦無解，故③不正確；
④由②的單調性即可判斷出

解答：解：函數f(x)=

x

1+|x|

的定義域為實數集R，圖象如圖所示
①?x∈R，f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=0
函數是實數集R上的奇函數，其圖象關于原點對稱
∵x＞0時，f(x)=

x

1+x

，∴f′(x)=

1

(1+x)2

＞0
∴函數是實數集R上的單調增函數，故①不正確；
②由①知，m∈（0，1），方程f（x）=m有唯一實數解，故②不正確；
③∵g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函數g（x）的一個零點；
當x＞0時，若?k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在區間（0，+∞）上有零點，則方程

x

1+x

-kx=0必有解，此方程化為kx=1-k，
∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程無解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在區間（0，+∞）上有零點；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在區間（-∞，0）上有零點，故③不正確；
④由②可知：函數f(x)=

x

1+|x|

，在實數集R上單調遞增，因此?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），故④正確．
綜上可知：只有④正確．
故答案為：④．

點評：本題考查函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，由已知函數得出其奇偶性和單調性及畫出圖形是解題的關鍵．