Question

選修4-4：坐標系與參數方程．
已知曲線C的極坐標方程為ρ=

4cosθ

sin2θ

，直線l的參數方程為

x=tcosα y=1+tsinα

（t為參數，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線C的形狀；
（Ⅱ）若直線l經過點（1，0），求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）對于曲線C，即ρsinθ=

4ρcosθ

sin θ

．把互化公式代入，化簡可得得直角坐標方程．
（2）根據條件求出直線l的方程為x+y=1，由 

y2=4x x+y=1

，消去x并整理得 y²+4y-4=0，利用根與系數的關系求得y₁+y₂=-4，y₁•y₂=-4，再利用弦長公式求出|AB|的值．

解答：解：（1）對于曲線C：ρ=

4cosθ

sin2θ

，可化為 ρsinθ=

4ρcosθ

ρsinθ

．
把互化公式代入，得 y=

4x

y

，即 y²=4x，為拋物線．
（可驗證原點（0，0）也在曲線上）    （5分）
（2）根據條件直線l經過兩定點（1，0）和（0，1），所以其方程為x+y=1．
由 

y2=4x x+y=1

，消去x并整理得 y²+4y-4=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-4，y₁•y₂=-4．
所以|AB|=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+1

•

(-4)2-4(-4)

=8．（10分）

點評：本小題主要考查極坐標與參數方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、直線與曲線的位置關系以及有關距離等知識內容，屬于基礎題．