Question

（2013•普陀區二模）在平面直角坐標系xOy中，方向向量為

d

=(1，k)的直線l經過橢圓

x2

18

+

y2

9

=1的右焦點F，與橢圓相交于A、B兩點
（1）若點A在x軸的上方，且|

OA

|=|

OF

|，求直線l的方程；
（2）若k=1，P（6，0），求△PAB的面積；
（3）當k（k∈R且k≠0）變化時，試求一點C（x₀，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標準方程和a²=b²+c²，即可得到F及A的坐標，從而得到k的值，即可得到直線l的方程；
（2）利用點斜式得到直線l的方程，與橢圓的方程聯立即可得出點A、B的縱坐標，利用S△PAB=

1

2

|y1-y2| |PF|即可得到面積；
（3）利用點斜式得到直線l的方程，與橢圓的方程聯立即可得出根與系數的關系，表示出直線AC和BC的斜率，令其和為0解出x₀即可．

解答：解：（1）由題意a²=18，b²=9得c=3，∴F（3，0），
∵|

OA

|=|

OF

|且點A在x軸的上方，得A（0，3），k=-1，

d

=(1，-1)．
直線l：

x-3

1

=

y-0

-1

，即直線l的方程為x+y-3=0
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當k=1時，直線l：y=x-3
將直線與橢圓方程聯立

x2 18 + y2 9 =1 y=x-3

，
消去x得，y²+2y-3=0，解得y₁=-3，y₂=1，
|y₁-y₂|=4，
∴S△PAB=

1

2

×|PF|×|y1-y2|=

1

2

×3×4=6．
（3）假設存在這樣的點C（x₀，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，由題意得，
直線l：y=k（x-3）（k≠0）

x2 18 + y2 9 =1 y=k(x-3)

，消去y得，（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
△＞0恒成立，

x1+x2= 12k2 1+2k2 x1•x2= 18(k2-1) 1+2k2

kAD=

y1

x1-x0

，kBD=

y2

x2-x0

kAD+kBD=

y1

x1-x0

+

y2

x2-x0

=

k(x1-3)

x1-x0

+

k(x2-3)

x2-x0

=

k(x1-3)(x2-x0)+k(x2-3)(x1-x0)

(x1-x0)(x2-x0)

=0
∴2kx₁x₂-k（x₀+3）（x₁+x₂）+6kx₀=0，

36k(k2-1)

1+2k2

-

12k3(x0+3)

1+2k2

+6kx0=0．
解得x₀=6，所以存在一點（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程和a²=b²+c²、點斜式得到直線l的方程與橢圓的方程聯立即可得出根與系數的關系、三角形的面積計算公式是解題的關鍵．