Question

已知函數，在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函數f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函數f（x）的值域；
（Ⅲ）若，且，求f（x+1）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將f（x）化簡為f（x）=2sin（ωx+），由正三角形△ABC的高為2可求得BC，從而可求得其周期，繼而可得ω
及函數f（x）的值域；
（Ⅱ）由0≤x≤1，可求得x+∈[，]，利用正弦函數的性質可求得函數f（x）的值域；
（Ⅲ）由x∈（-，）可求得（+）∈（-，），從而可求得cos（+），最后利用兩角和的正弦即可求得f（x+1）的值．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得：f（x）=6+sinωx-3（ω＞0）
=3cosωx+sinωx
=2sin（ωx+），…3分
又由于正△ABC的高為2，則BC=4，
∴函數f（x）的周期T=4×2=8，即=8，
∴ω=…5分
∴函數的值域為[-2，2]…6分
（Ⅱ）∵0≤x≤1，
∴≤x+≤+，
≤sin（x+）≤，
3≤2sin（+）≤
∴函數f（x）的值域為[3，]…（9分）
（Ⅲ）因為f（x）=由（Ⅰ）有f（x）=2sin（+）=，即sin（+）=，
 
由x∈（-，）得：（+）∈（-，），
所以，cos（+）==…（11分）
故f（x+1）=2sin（++）=2sin[（+）+]=2sin[（+）cos+cos（+）sin
=2（×+×）= …13分
點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查三角函數間的關系式，考查分析，轉化與綜合應用的能力，屬于難題．