Question

已知函數
（Ⅰ）若在（0，）單調遞減，求a的最小值
（Ⅱ）若有兩個極值點，求a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）a的最小值為1; （Ⅱ）(0，1)．

試題分析：（Ⅰ）將“f(x)在（0，）單調遞減”轉化為“"x∈(0，＋∞)，a≥”，然后才有構造函數的思想求解函數的最大值即可；（Ⅱ）通過對參數a 與1的討論，借助求導的方法研究函數的單調性，進而分析保證有兩個極值點的條件，通過解不等式求解求a的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）f¢(x)＝lnx＋1－ax．
f(x)單調遞減當且僅當f¢(x)≤0，即"x∈(0，＋∞)，
a≥．                                                       ①
設g(x)＝，則g¢(x)＝－．
當x∈(0，1)時，g¢(x)＞0，g(x)單調遞增；
當x∈(1，＋∞)時，g¢(x)＜0，g(x)單調遞減．
所以g(x)≤g(1)＝1，故a的最小值為1．                         5分
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，當a≥1時，f(x)沒有極值點．
（2）當a≤0時，f¢(x)單調遞增，f¢(x)至多有一個零點，f(x)不可能有兩個極值點． 7分
（3）當0＜a＜1時，設h(x)＝lnx＋1－ax，則h¢(x)＝－a．
當x∈(0，)時，h¢(x)＞0，h(x)單調遞增；
當x∈(，＋∞)時，h¢(x)＜0，h(x)單調遞減．                     9分
因為f¢()＝h()＝ln＞0，f¢()＝h()＝－＜0，
所以f(x)在區間(，)有一極小值點x₁．                         10分
由（Ⅰ）中的①式，有1≥，即lnx≤x－1，則ln≤－1，
故f¢()＝h()＝ln2＋2ln＋1－≤ln2＋2(－1)＋1－＝ln2－1＜0．
所以f(x)在區間(，)有一極大值點x₂．
綜上所述，a的取值范圍是(0，1)．