Question

已知函數f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a（a為常數）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期，并指出其單調減區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在[0，

π

2

]上恰有兩個x的值滿足f（x）=2，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，然后求出函數f（x）的最小正周期，通過正弦函數的單調減區間求出函數的單調減區間；
（Ⅱ）通過函數f（x）在[0，

π

2

]上恰有兩個x的值滿足f（x）=2，通過換元法，利用

g( π 6 )≤2 g( π 2 )＞2

，試求實數a的取值范圍．

解答：（本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+a，
∴最小正周期T=

2π

2

=π，
單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）令u=2x+

π

6

，則g(u)=sinu+

1

2

+a，u∈[

π

6

，

7π

6

]．
要使g（u）在[

π

6

，

7π

6

]上恰有兩個x的值滿足g（u）=2，
則

g( π 6 )≤2 g( π 2 )＞2

，解得 

1

2

＜a≤1．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，二倍角公式與兩角和的正弦函數的應用，函數的基本性質，考查計算能力．